??? T=AB=（X₁+C）（X₃+ X₄）=（X₁+ X₂ X₃）（X₃+ X₄

???? = X₁ X₃+ X₂ X₃ X₃+ X₁ X₄+ X₂ X₃ X₄

???? = X₁ X₃+ X₂ X₃+ X₁ X₄+ X₂ X₃ X₄

???? = X₁ X₃+ X₂ X₃+ X₁ X₄

????事故樹(shù)經(jīng)化簡(jiǎn)得到三個(gè)交集的并集，也就是說(shuō)該事故樹(shù)有三個(gè)最小割集：

????K ₁=｛ X₁，X₃｝，K ₂=｛ X₂ ，X₃｝，K ₃=｛ X₁，X₄｝
??? 化簡(jiǎn)后的事故樹(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖3所示，它是圖2的等效樹(shù)。

???

??? 圖3 圖2事故樹(shù)的等效圖

???? 由圖可見(jiàn)，用最小割集表示的事故樹(shù)，共有兩層邏輯門(mén)，第一層為或門(mén)，第二層為與門(mén)。由事故樹(shù)等效樹(shù)可清楚看出事故發(fā)生的各種模式。

??? 再以圖4為例，求事故樹(shù)的最小割集。

???

??? 圖4 事故樹(shù)圖

???T=AB=（X₁+C）（X ₂+D）a

???? =a（X₁+ X₂ X₃）（X₂+ X₄ X₅）

???? =a（X₁ X₂+ X₂ X₃ X₂+ X₁ X₄ X₅+ X₂ X₃ X₄ X₅）

???? =a X₁ X₂+a X₂ X₃+a X₁ X₄ X₅+a X₂ X₃ X₄ X₅

???? =a X₁ X₂+a X₂ X₃+a X₁ X₄ X₅

????該事故樹(shù)含有三個(gè)最小割集：

????K₁=｛a，X₁，X₂｝

????K₂=｛a，X₂， X₃｝

????K₃=｛a，X₁， X₄ ，X₅｝
??? b． 行列法。

??? 行列法是1972年由富賽爾（Fussel）提出的，所以又稱(chēng)富賽爾法。這種方法的原理是：從頂上事件開(kāi)始，按邏輯門(mén)順序用下面的輸入事件代替上面的輸出事件，逐層代替，直到所有基本事件都代完為止。在代替過(guò)程中，“或門(mén)”連接的輸入事件縱向列出，“與門(mén)”連接的輸入事件橫向列出。這樣會(huì)得到若干行基本事件的交集，再用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)，就得到最小割集。

????從頂上事件T開(kāi)始，第一層邏輯門(mén)為與門(mén)，與門(mén)連接的兩個(gè)事件橫向排列代表T；A下面的邏輯門(mén)為或門(mén)，連接X(jué)₁，C兩個(gè)事件，應(yīng)縱向排列，變成X₁B和CB兩行；C下面的與門(mén)連接X(jué)₂，X₃兩個(gè)事件；因此X₂，X₃寫(xiě)在同一行上代替C，此時(shí)得到二個(gè)交集X₁B，X₂ X₃B。同理將事件B用下面的輸入事件代入，得到四個(gè)交集，經(jīng)化簡(jiǎn)得到三個(gè)最小割集。這三個(gè)最小割集是：

????K₁= ｛X₁，X₃｝，K₂=｛ X₁, X₄｝，K ₃=｛ X₂，X₃｝。

??? 此法求得的結(jié)果與布爾代數(shù)法相同，但用手工計(jì)算，布爾代數(shù)法較為簡(jiǎn)單，這種方法適合于計(jì)算機(jī)編程求最小割集。

??? 目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)開(kāi)發(fā)出許多用計(jì)算機(jī)求得最小割集的程序，在此不一一敘述。

??? ② 最小徑集求法。

??? 最小徑集的求法是利和最小徑集與最小割集的對(duì)偶性，首先畫(huà)事故樹(shù)的對(duì)偶樹(shù)，即成功樹(shù)。求成功樹(shù)的最小割集，就是原事故樹(shù)的最小徑集。成功樹(shù)的畫(huà)法是將事故樹(shù)的“與門(mén)”全部換成“或門(mén)”，“或門(mén)”全部換成“與門(mén)”，并把全部事件的發(fā)生變成不發(fā)生，就是在所有事件上都加“/”，使之變成原事件補(bǔ)的形式。經(jīng)過(guò)這樣變換后得到的樹(shù)形就是原事故樹(shù)的成功樹(shù)。

??? 這種做法的原理是根據(jù)布爾代數(shù)的德·摩根定律。例如圖5所示的事故樹(shù)，其布爾表達(dá)式為

??? T= X₁+ X₂ 1

????此式表示事件X₁，X₂任一個(gè)發(fā)生，頂上事件T就會(huì)發(fā)生。要頂上事件不發(fā)生，X₁，X₂兩個(gè)事件必須都不發(fā)生。那么，在式1兩端取補(bǔ)，得到下式

????T′=（X₁+ X₂）′= X₁′·X₂′ 2