結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的主要對(duì)象是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，1981年程耿東和Olhof在研究中指出：為了得到實(shí)心彈性薄板材料分布的全局最優(yōu)解，必須擴(kuò)大設(shè)計(jì)空間，得到由無(wú)限細(xì)肋增強(qiáng)的板設(shè)計(jì)。此研究被認(rèn)為是近現(xiàn)代連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的先驅(qū)。
    目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了大量研究，這些研究大多數(shù)建立在有限元法結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，但由于有限元法中單元網(wǎng)格的存在，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中常常出現(xiàn)如灰度單元，網(wǎng)格依賴(lài)性和棋盤(pán)格等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。本文介紹了幾種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法及每種方法存在的問(wèn)題，并提出了相應(yīng)的解決辦法。
    1.拓?fù)鋬?yōu)化方法
    連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化開(kāi)始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均勻化方法，此后許多學(xué)者相繼提出了漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、變密度法等拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)建模方法。
    1.1.均勻化方法
    均勻化方法即在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)構(gòu)造周期性分布的微結(jié)構(gòu)，這些微結(jié)構(gòu)是由同一種各向同性材料實(shí)體和孔洞復(fù)合而成。采用有限元方法進(jìn)行分析，在每個(gè)單元內(nèi)構(gòu)造不同尺寸的微結(jié)構(gòu)，微結(jié)構(gòu)的尺寸和方向?yàn)橥負(fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量。1988年Bendsoe研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)在結(jié)構(gòu)中引入具有空洞微結(jié)構(gòu)的材料模型，將困難的拓?fù)湓O(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為相對(duì)簡(jiǎn)單的材料微結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問(wèn)題。
    很多學(xué)者發(fā)展了均勻化方法，Suzhk進(jìn)行了基于均勻化方法結(jié)構(gòu)形狀和拓?fù)鋬?yōu)化協(xié)同設(shè)計(jì)。Hassani等全面系統(tǒng)的總結(jié)了基于均勻化理論的拓?fù)鋬?yōu)化理論和算法。該方法的優(yōu)點(diǎn)：數(shù)學(xué)理論嚴(yán)謹(jǐn)，在理解拓?fù)鋬?yōu)化的理論框架方面有重要的意義。缺點(diǎn)：（1）均勻化彈性張量的求解操作繁瑣，內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的形狀和方向難以確定。（2）計(jì)算結(jié)果容易產(chǎn)生棋盤(pán)格和多孔材料等數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，可制造性差。
    1.2.漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法
    漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計(jì)理論與方法，是由謝億民于1993年提出的，主要用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。ESO方法通過(guò)逐漸將無(wú)效或低效的材料刪除，實(shí)現(xiàn)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，避免了多變量數(shù)學(xué)規(guī)劃求解問(wèn)題。ESO方法中主要有三種方法刪除無(wú)效或低效單元。
    近年來(lái)ESO由于突出的優(yōu)點(diǎn)而得到迅速的發(fā)展，同時(shí)存在的問(wèn)題也不容忽視。主要優(yōu)點(diǎn)有：不僅可以解決各類(lèi)結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化，還可以實(shí)現(xiàn)形狀和拓?fù)鋬?yōu)化；拓?fù)湫问角逦?，迭代過(guò)程在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，可以對(duì)有限元分析結(jié)果進(jìn)行后處理近似得到靈敏度值，且在優(yōu)化過(guò)程中避免二次劃分網(wǎng)格問(wèn)題。缺點(diǎn)是：迭代次數(shù)較多，計(jì)算效率較低，且通用性、數(shù)值穩(wěn)定性差。
    1.3.變密度法。
    密度法是人為假定單元的密度和材料物理屬性之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式表達(dá)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。變密度法是基于各向同性材料，以每個(gè)單元的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布設(shè)計(jì)問(wèn)題，應(yīng)用優(yōu)化準(zhǔn)則法或數(shù)學(xué)規(guī)化方法來(lái)求解材料最優(yōu)分布設(shè)計(jì)。
    1999年Sigrnund等證實(shí)了該方法物理意義的存在性。變密度法主要優(yōu)點(diǎn)有：設(shè)計(jì)變量少；程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單；以結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)，不存在多目標(biāo)問(wèn)題。不足有：（1）優(yōu)化過(guò)程中存在相對(duì)密度在[0，1]之間單元。對(duì)于中間密度的單元，是否刪除就變得難以抉擇；（2）以柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，在解決含有強(qiáng)度和剛度約束的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)不夠方便。

    2.拓?fù)鋬?yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象及其解決方法