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基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸

文檔作者：郎非1 王保云1,2 鄧志祥1 文檔來源： 1. 南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué) 2. 東南大學(xué) 移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室		點(diǎn) 擊數(shù)：	更新時(shí)間： 2021年04月06日
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2013 年10 月 Journal on Communications October 2013
第34 卷第10 期 通 信 學(xué) 報(bào) Vol.34 No. 10
基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸
郎非1，王保云1,2，鄧志祥1
（1. 南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 江蘇 南京 210003; 2. 東南大學(xué) 移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210096）
摘 要：從信息論的角度對相關(guān)信源在離散無記憶廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)膯栴}進(jìn)行研究。2 個信源經(jīng)過有
噪信道分別到達(dá)各自指定的目的節(jié)點(diǎn)并被無損恢復(fù)，同時(shí)還要保證信源信息對于非指定的目的節(jié)點(diǎn)要有一定的保
密性。采用信源信道分離的隨機(jī)碼策略，得到相關(guān)信源在一般廣播信道下能夠可靠和安全傳輸?shù)某浞謼l件。當(dāng)2
個信源的公共信息為二者的互信息時(shí)，可獲得最佳壓縮傳輸效率，并且能夠做到信源信息傳輸?shù)牟糠纸^對保密。
當(dāng)廣播信道采用退化信源集或滿足more capable 廣播信道性質(zhì)時(shí)，得到了可靠和安全傳輸?shù)某浞直匾獥l件，此時(shí)
分離信源信道碼為最優(yōu)碼。
關(guān)鍵詞：分離信源信道碼；安全傳輸；廣播信道；疑義度；香農(nóng)理論
中圖分類號：TN911.22/TN911.21 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1000-436X(2013)10-0017-11
Secure lossless transmission of correlated sources over noisy broadcast
channel using separate source-channel coding
LANG Fei1, WANG Bao-yun1,2, DENG Zhi-xiang1
(1. College of Communication and Information Engineering, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003, China;
2. National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University, Nanjing 210096, China)
Abstract: The problem of secure transmission of correlated sources over broadcast channel was studied from the perspective
of information-theoretic security. Each source is only for its intended receiver, but to be kept secret from the unintended
receiver. Sufficient condition was provided for secure transmission of correlated sources over broadcast channels
from separate source-channel coding perspective. If the mutual information was chosen as common information, optimal
compression and partial perfect secrecy were both achieved for two correlated sources. Sufficient and necessary conditions
were provided for two special cases: a broadcast channel with degraded source sets and a more capable broadcast
channel, and thus it could be seen that the separate source-channel code is optimal.
Key words: separate source-channel coding; secure communication; broadcast channel; equivocation; Shannon theory
1 引言
傳統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)安全保密通信是通過對明文加密
來實(shí)現(xiàn)的。收發(fā)雙方會共享一個密鑰，而竊聽者是
不知道密鑰的。這種傳統(tǒng)加密系統(tǒng)面臨如下問題[1]：
理論上無線網(wǎng)絡(luò)中的竊聽者可以攔截任何信息，包
括密鑰本身；具有主動攻擊特性的竊聽者能夠干擾
合法用戶之間的信息傳輸，使得傳輸質(zhì)量下降；復(fù)
雜網(wǎng)絡(luò)的密鑰管理分配非常困難。1948 年，香農(nóng)開
創(chuàng)性地借助信息論(information theory)證明得到了
一個驚人的結(jié)論：如果密鑰的長度不小于明文的長
度，則可實(shí)現(xiàn)絕對保密(perfect secrecy)。之后Wyner、
Csiszár和Körner等人[2]在沒有使用密鑰的前提下，
證明了在竊聽信道或廣播信道(BC)下安全通信是
可能的?；谏鲜鱿闰?qū)們的工作，形成了信息理論
安全(information-theoretic security)最基本的理論。
收稿日期：2013-06-05；修回日期：2013-08-06
基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271232, 60972045, 61071089)；東南大學(xué)移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金資
助項(xiàng)目（2012D05）
Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (61271232, 60972045, 61071089); The Fund for National
Mobile Communications Research Laboratory of Southeast University (2012D05)
doi:10.3969/j.issn.1000-436x.2013.10.003
·18· 通 信 學(xué) 報(bào) 第34 卷
采用這種方法可以從本質(zhì)上克服傳統(tǒng)加密系統(tǒng)的
上述缺陷，并且即使竊聽者具有無限的計(jì)算資源，
其安全容量也不會受到任何影響。近些年來，隨著
無線終端設(shè)備的普遍使用，開放的無線媒介易被非
法用戶侵入特質(zhì)，使得無線通信安全問題被日益關(guān)
注。2008 年之后，越來越多的信息理論學(xué)者開始重
新關(guān)注信息理論安全這一研究方向[3~10]。
基于信息理論方法實(shí)現(xiàn)信息安全傳輸?shù)幕舅?
想：由于信道噪聲以及衰落引起信道特性的波動，
使得物理層信道產(chǎn)生固有的隨機(jī)性，利用合法接收
者與竊聽者所接入信道的隨機(jī)性不同來實(shí)現(xiàn)合法用
戶之間信息或部分信息的安全傳輸。例如，信息的
發(fā)送者可以有意地在原有信息的基礎(chǔ)上增加隨機(jī)信
息，在保證合法用戶接收信息不受影響的同時(shí)，能
夠阻止竊聽者截獲有效信息。Csiszár和Körner[2]早期
研究的廣播信道只含1 個公共消息和1 個保密消息。
近些年來，Liu等人[9]率先對含有2 個保密消息的廣
播信道進(jìn)行研究，并給出了安全容量區(qū)域的內(nèi)界和
外界。緊接著，Xu等人[10]對于這一模型進(jìn)一步推廣，
給出了含有2 個保密消息和1 個公共消息的廣播信
道的速率——疑義度區(qū)域的內(nèi)界和外界。
相關(guān)信源傳輸問題最早起源于無噪網(wǎng)絡(luò)，有2 個
著名的分布式信源編碼的例子。1)相關(guān)信源的分離編
碼，即著名的Slepian-Wolf編碼[11]。這里的分離編碼
指相關(guān)信源經(jīng)過壓縮映射為2 個消息集合，再分別經(jīng)
過兩路無噪信道到達(dá)同一接收端。該編碼方案得到一
個令人驚訝的結(jié)果：當(dāng)兩路信道所能承載的碼率不小
于2 個信源的聯(lián)合熵時(shí)，則在接收端能夠同時(shí)無損恢
復(fù)2 個信源。2)Gray-Wyner 系統(tǒng)[12] ，該模型對
Slepian-Wolf模型進(jìn)行了推廣，雙信源經(jīng)過3 路無噪信
道到達(dá)2 個接收端。其中一路為公共信道，能同時(shí)到
達(dá)2 個接收端，其余兩路為私人信道，分別到達(dá)2 個
不同的接收端。Gray和Wyner最先給出該模型系統(tǒng)的
可達(dá)速率區(qū)域，并證明了當(dāng)公共信道能夠被最大限度
地使用時(shí)，可以得到最優(yōu)碼。近期針對Gray-Wyner
系統(tǒng)，Timo等人[13]給出當(dāng)接收端有邊信息時(shí)信源碼率
的內(nèi)界和外界， Kamath 等人[14] 則對該系統(tǒng)的
Gács-Körner公共信息對偶性質(zhì)進(jìn)行了研究；Tandon
等人[3]將這一問題擴(kuò)展到N個接收用戶，并考慮不同
用戶之間的信息保密。
相關(guān)信源在有噪廣播信道下傳輸?shù)膯栴}由Han
和Coast[15]首先提出，Tuncel在2006 年將Slepian-
Wolf碼擴(kuò)展到有噪廣播信道，他們均使用“聯(lián)合信
源信道編碼”得到可達(dá)界[16]。在這之后其他人[17~22]
所提出的編碼方案也都是基于聯(lián)合編碼，好像從一
開始就沒有考慮使用“分離信源信道編碼”。這主
要因?yàn)椤跋戕r(nóng)信源信道分離定理”[23]揭示了對于多
用戶信道，信源與信道分開獨(dú)立進(jìn)行編碼在很多情
況下得不到最優(yōu)解。而聯(lián)合編碼將傳統(tǒng)的信源編碼
器與信道編碼器整合為一個編碼器，直接將信源映
射為碼字進(jìn)行發(fā)送，不再有信源映射為消息、消息
再映射為碼字這樣“分離”的2 個過程。對于多址
信道(MAC)，聯(lián)合編碼可以利用不同接入節(jié)點(diǎn)之間
的信源相關(guān)性提高節(jié)點(diǎn)之間的協(xié)作通信能力。對于
分離編碼，由于消息和碼字彼此是獨(dú)立的，這反而
浪費(fèi)了信源相關(guān)性這一特質(zhì)，使得編碼效率降低。
對于廣播信道，只要不涉及節(jié)點(diǎn)之間的協(xié)作，似乎
使用分離編碼沒有那么糟糕。但是作者仍然注意到
聯(lián)合編碼在整合信源和信道的統(tǒng)計(jì)分布特性方面
非常方便。
本文研究離散無記憶的2 個相關(guān)信源在有噪廣
播信道下可靠和安全傳輸?shù)膯栴}，如圖1 所示，這
一問題相當(dāng)于對前面有關(guān)信道安全、分布式信源編碼
和信源信道編碼等問題進(jìn)行了擴(kuò)展。本文仍然使用
傳統(tǒng)的分離信源信道編碼策略，并結(jié)合疊加碼[23]、
double binning [9]和安全速率劃分[10]等技術(shù)，使得傳
輸?shù)目煽啃耘c安全性得到保證。對于可靠性來說，
通過引入Gray-Wyner系統(tǒng)，明確相關(guān)信源中不同信
息種類的概率關(guān)系，劃分一類公共消息M0和二類私
人消息M1和M2，如圖2 所示。通過優(yōu)化三類信息
的概率分布關(guān)系，使得信源編碼與信道編碼的2 個
過程在結(jié)合之后能夠得到一個比較高效的編碼。對
圖1 分離信源信道編碼的廣播信道模型
第10 期 郎非等：基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸 ·19·
于安全性來說，首先，通過引入輔助變量V調(diào)整信
源輸出的概率關(guān)系，使得消息M0、M1和M2三者之
間相互獨(dú)立，這能夠有效地防止不同消息之間的信
息泄露；其次，分離編碼本身能夠做到消息和發(fā)送
碼字獨(dú)立，這使得信道本身的安全容量不會受到信
源相關(guān)性的影響而降低，這也是分離編碼相比較聯(lián)
合編碼的優(yōu)勢。
圖2 Gray-Wyner 信源編譯碼系統(tǒng)
基于上述思想，本文得到了如下結(jié)論：1)相關(guān)
信源在一般廣播信道(general BC)下可靠和安全傳
輸?shù)某浞謼l件；2)當(dāng)相關(guān)信源的公共信息為二者互
信息時(shí)，可獲得最佳的壓縮傳輸效率，并在一定條
件下傳輸可做到部分絕對保密；3)退化信源集
(degraded source set)在一般廣播信道下可靠和安全
傳輸?shù)某浞直匾獥l件；4)相關(guān)信源在more capable
廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)某浞直匾獥l件。以上
4 條結(jié)論及其部分證明在本文的第3 節(jié)中進(jìn)行表述，
其中，結(jié)論1)的充分性證明和結(jié)論3)的必要性證明
分別在附錄A 和附錄B 中進(jìn)行表述。
2 基本定義和相關(guān)工作
本文符號標(biāo)記規(guī)則：斜體大寫字母表示隨機(jī)變
量，如X；斜體小寫字母表示隨機(jī)變量的一個實(shí)例，
如x；Xn和xn表示分組長度為n的隨機(jī)變量序列及其實(shí)
例； 1, 1
j
i X + 用于表示1 1 1 2 1 ( , , , ) i i j X X X + + ? ，其中，第一
個下標(biāo)“1”標(biāo)識變量的名稱，如X1, X2等，i和j指單
個變量在變量序列中的序號； 1
X i 表示 11 (X ,
12 1 , , ) i X ? X ，變量實(shí)例寫法亦如此；隨機(jī)變量X的取
值集合稱為字母集，用?表示。隨機(jī)變量之間的
Markov關(guān)系p(x)p(x|y)p(z|y)的簡化表示為X→Y→Z，可
以推出X←Y←Z也成立，也可以用合并方式表達(dá)X－Y
－Z。本文使用ε ,ε ′ >0專門來表示一個小的固定值，
且ε ′ <ε>0表示ε 的函數(shù)，并當(dāng)ε →0時(shí)，
δ (ε )→0。 0 n ε ≥ 為n的函數(shù)，當(dāng)n → ∞ ， 0 n ε → 。
2.1 問題定義
首先給出通信模型的基本定義，分為信源和信
道兩部分。
Gray-Wyner 系統(tǒng)如圖2 所示， 由六元組
( ) GW ? ,? , f ,?,?,? 1 2 0 1 2 來表示。1 2 (? ,? ) 指信源字
母集， 0 1 2 (?,?,?)是消息字母集。雙信源經(jīng)過三
元編碼器組GW f 映射輸出3 個消息。
0 1 2 1 2 ( , , ) ( n , n )
GW m m m = f s s
離散無記憶的雙信源序列1 2 1 2 (sn , sn )∈(?n ,?n )，每一對
變量都獨(dú)立同分布，概率分布滿足
1 2 1 2
1
( , ) ( , )
n
n n
i i
i
p s s p s s
=
= Π
信源消息0 1 2 0 1 2 (m ,m ,m )∈(? ×?×?)。
信源消息0 1 2 (m ,m ,m )經(jīng)過信道編碼器g映射輸
出信道消息。
0 1 2 0 1 2 (w ,w ,w ) = g(m ,m ,m )
0 1 2 0 1 2 (w ,w ,w )∈(?,?,? )。一般來說信道消息彼此
要求獨(dú)立，而對于信源消息沒有這個要求。
廣播信道由七元組1 2 1 2 (?, p,?,? , f ,ψ ,ψ ) 來表
示，?是信道輸入字母集，?1和?2是信道輸出字母
集，p是廣播信道的轉(zhuǎn)移概率p(y1,y2|x)，f為信道編
碼映射函數(shù)，Ψ1和Ψ2為2 個譯碼映射函數(shù)。假設(shè)信
道是離散無記憶的。
1 2 1 2
1
( , | ) ( , | )
n
n n n
i i i
i
p y y x p y y x
=
= Π
1 1 2 2 yn ∈?n , yn ∈?n , xn ∈?n。令?0為公共消息集，?1
為接收者1 的私人消息集，?2為接收者2 的私人消
息集。編碼器f由轉(zhuǎn)移概率p(xn|w0,w1,w2)來定義，概
率p增加了碼字xn的隨機(jī)性，增加的隨機(jī)信息獨(dú)立于
消息，其分布屬性2 個接收者都知道，只是不能確
定哪一個xn作為發(fā)送碼字。2 個譯碼器定義為如下
兩組映射：
Ψ1： 1 0 1 0 1 1 ?n →(?,?)→(?,?)→?n
Ψ2： 2 0 2 0 2 2 ?n →(?,? )→(?,?)→?n
定義1 當(dāng)發(fā)送信源為1 2 (sn , sn )時(shí)，分組長度為n
的序列的譯碼錯誤概率定義為
1 2 1 2
( )
1 2 1 2 1 1 2 2
( , ) ( , )
( , ) (( , ) ( ( ), ( ))
n n ?n ?n
n n n n n n n
e
s s
P p s s p s s ψ y ψ y
∈
= Σ ? ≠
(1)
當(dāng) n 足夠大且 (n)
e P ≤ε 時(shí)，則認(rèn)為 n 長序列實(shí)現(xiàn)了
可靠傳輸。
定義2 對于接收者2，信源1
Sn的保密等級（安
全性水平）用疑義度
S1 E 來定義
1 1 2
1 ( n | n )
S E
H S Y
n
≤ ，(同理有
2 2 1
1 ( n | n )
S E
H S Y
n
≤ (2)
·20· 通 信 學(xué) 報(bào) 第34 卷
由定義2 還可以引出如下新的定義。
1) 保密信息容量：
1 1 CS = max ES ，
2 2 max S S C = E 。
2) 絕對保密：
1 1 ( ) S C = H S ，
2 2 () S C = H S 。
3) 部分絕對保密：
1 1 2 ( | ) S C = H S S ，
S2 C =
2 1 H(S | S )。
定義3 信源(S1, S2)被允許經(jīng)過廣播信道傳輸需
滿足如下條件，當(dāng)碼字長度n足夠大時(shí)，
1 2
( )
1 2 2 1
n , 1 ( n | n ), 1 ( n | n )
e n S S P E H S Y E H S Y
n n
<ε 滿足這樣條件的信源集合被稱為允許信源區(qū)="滿足這樣條件的信源集合被稱為允許信源區(qū)" source="source" 平ε和安全性水平ES1="平ε和安全性水平ES1" ES2="ES2" 對Han和="對Han和" 定義4="定義4" 存在一個滿足某一限定條件的信源信道="存在一個滿足某一限定條件的信源信道" _x005F_x0032_.2="2.2" 證明使用的相關(guān)引理="證明使用的相關(guān)引理" 本節(jié)給出聯(lián)合典型序列的概念和證明要使用="本節(jié)給出聯(lián)合典型序列的概念和證明要使用" xn="xn" yn="yn" 在="在" _x005F_x0031_="1" n="n" T="T" XY="XY" x="x" y="y" a="a" b="b" p="p" ε="ε" 中的聯(lián)合典型="中的聯(lián)合典型" 引理="引理" 和="和" 假設(shè)X="假設(shè)X" un="un" _x005F_x0030_="0" u="u" XYU="XYU">< I (X;Y |U) ?δ (ε )。
引理3 （費(fèi)諾不等式） 離散無記憶信道的碼
書為?，且輸入消息W服從集合｛1,2,…,2nR}上的均
勻分布，則有 ( | ? ) 1 (n)
e H W W P nR + ≤ 。 ?W 是在信道
接收端對W的估計(jì)， (n) Pr( ? )
e P
= W ≠W 。
引理4 （數(shù)據(jù)處理不等式）若X－Y－Z 構(gòu)成
Markov 鏈，則有I(X;Y)≥I(X;Z) 或I(Z;Y)≥I(X;Z)。
3 主要貢獻(xiàn)
3.1 節(jié)中給出本文的主定理，即定理1，其是針
對一般的信源與信道條件而得到的可靠和安全傳
輸限制條件。后面3 個小節(jié)（3.2 節(jié)、3.3 節(jié)、3.4
節(jié)）分別考慮幾種特殊情況，其中，定理2 是在考
慮雙信源的公共信息滿足一定條件下得到的一個
較優(yōu)結(jié)果；定理3 則考慮雙信源是退化信源集時(shí)得
到的一個最優(yōu)結(jié)果；定理4 是在考慮廣播信道滿足
“more capable”條件下得到的一個最優(yōu)結(jié)果。
3.1 相關(guān)信源可靠性和安全性傳輸?shù)南拗茥l件
定理1 輔助變量(V, U0, U1, U2)∈?×?0×?1×
?2滿足如下Markov鏈
1 2 S ?V ? S (4)
0 1 2 1 2 U ?U U ? X ?YY (5)
信源(S1,S2)經(jīng)過廣播信道p(y1,y2|x)，到達(dá)各自的接
收端。系統(tǒng)滿足可靠性和安全性傳輸?shù)某浞謼l件為
1 2 0 1 0 2
1 1 2 1 1 0 0 1 0 2
2 1 2 2 2 0 0 1 0 2
1 1 2 1 2 1 1 0 2 2 0
( , ; ) min{ ( , ), ( , )} (a)
( | ) ( , ; ) ( ; | ) min{ ( , ), ( , )} (b)
( | ) ( , ; ) ( ; | ) min{ ( , ), ( , )}(c)
( | ) ( | ) ( , ; ) ( ; | ) ( ; |
I S S V I U Y I U Y
H S V I S S V I U Y U I U Y I U Y
H S V I S S V I U Y U I U Y I U Y
H S V H S V I S S V I U Y U I U Y U
<
+ < +
+ < +
? = + + < +
1 2 0 1 2 1 2
1
2
,
1 2 0 0 1 0 2
1 1 0 1 2 2 0 1
2 2 0 2 1 1 0 2
)
( ; | ) min{ ( , ), ( , )} (d)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )} (e)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )} (f )
S V S U U U X Y Y
S
S
I U U U I U Y I U Y
E I U Y U I U Y U U H S V
E I U Y U I U Y U U H S V
? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?? ?? ? ? ?
? + ? ? ?
? ? ?
? ?
?? ? ??
≤
≤
? (6)
第10 期 郎非等：基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸 ·21·
?1即為充分條件所界定的可達(dá)允許信源區(qū)域。
其中，
S1 E 和
S2 E 表示允許信源區(qū)域的疑義度（安全
性）水平，以
S1 E 為例，考慮以下2 種情況：
1) 當(dāng)S1滿足1 1 1 0 H(S |V ) > I (U ;Y |U ) ? 1 2 I (U ;Y ,
2 0 U |U )時(shí)，則疑義度水平
S1 E 恒等于信道安全容量
1 1 0 1 2 2 0 ( ; | ) ( ; , | ) S C = I U Y U ? I U Y U U 這一固定值；
2) 當(dāng)S1 滿足1 2 1 1 0 1 H(S | S )≤I (U ;Y |U ) ? I (U ;
2 0 Y |U )時(shí)，則
S1 E 等于H(S1|V)。
從編碼設(shè)計(jì)的角度，期望允許信源區(qū)域盡可能
大，即不等式(6a)~(6d)左半部信源壓縮界越小越好；
而右半部信道可達(dá)速率界越大越好。允許信源區(qū)域
的計(jì)算結(jié)果，取值于所有符合Markov鏈?zhǔn)?4)和式(5)
的聯(lián)合概率分布。兩條Markov鏈?zhǔn)?4)和式(5)彼此
是獨(dú)立的，即將信源與信道概率分布完全獨(dú)立開
來，這是由分離編碼設(shè)計(jì)決定的。輔助變量V與S1,S2
均相關(guān)，可看作是S1和S2的公共信息。U0代表信道
傳輸?shù)墓残畔?，而U1和U2代表信道傳輸?shù)乃矫苄?
息，有一定的保密性要求。
證明 見附錄A。
對于定理1 考慮一種簡化情況，即信道“無噪”，
并且在沒有安全性約束的條件下定理1 會退化為
Gray-Wyner界[12]。
1 2
0 1 2
1 1
( | , )
2 2
( , ; )
( | )
( | )
G W
p v s s
R I S S V
R H S V
R H S V
?
? ?
= ? ? ? ?
? ?
? ?
≥
≥
≥
? ? (7)
式(7)中假設(shè)三路無噪信道（一路公共信道和二
路私人信道）所能承載的碼率分別為R0、R1、R2。
3.2 公共信息對信源壓縮率和疑義度的影響
在Gray-Wyner系統(tǒng)中（如式(7)所示），代表公
共信息的輔助變量V的概率分布特性不僅會影響雙
信源的壓縮效率，而且會影響疑義度水平（如式
(6e)、式(6f)所示)。根據(jù)定理1 和Gray-Wyner界（式
(7)）得到如下3 個推論，其中，滿足推論1 可以得
到雙信源的最佳壓縮率，而滿足推論2 和推論3 條
件的公共碼率R0可以得到次優(yōu)的保密條件，基于此
3 個推論得到定理2。
推論1 Gray-Wyner系統(tǒng)(R0,R1,R2)∈?G-W，當(dāng)
滿足S1－V－S2時(shí)，則0 1 2 1 2 R + R + R = H(S , S )。
證明 顯然聯(lián)合熵1 2 H(S , S )代表信源S1和S2
的最佳壓縮率。
由Gray-Wyner 系統(tǒng)定義式(7)可得
0 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2
1 2 1 2
( , ; ) ( | ) ( | )
( ; ) ( ; | ) ( | ) ( | )
( ) ( ; | ) ( | )
R R R I S S V H S V H S V
I S V I S V S H S V H S V
H S I S V S H S V
+ + + +
= + + +
= + +
≥
(8)
又因?yàn)镾1?V?S2，則有
2 2 1 H(S |V ) = H(S | S ,V )
2 1 2
2 1 2 1 2 2 1
( ; | ) ( | )
( | ) ( | , ) ( | ) ( | )
I S V S H S V
H S S H S V S H S V H S S
+
= ? + ＝
所以有
1 2 1 2 2 1 I (S , S ;V ) + H(S |V ) + H(S |V ) = H(S , S ) (9)
0 1 2 1 2 R + R + R ≥H(S , S )
當(dāng)不等式取等號時(shí)，即得推論1。
推論2 Gray-Wyner系統(tǒng)(R0,R1,R2)∈?G-W，最
大公共信息速率R0滿足2R0+R1+R2=H(S1)+H(S2)，
則max R0=I(S1;S2)。
證明 由Gray-Wyner 系統(tǒng)定義式(7)可得
0 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 1
2 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2
2 ( , ; ) ( | ) ( | )
( ; ) ( ; | ) ( ; )
( ; | ) ( | ) ( | )
( ) ( | ) ( ; | )
( ) ( | ) ( ; | )
( | ) ( | )
( ) ( ; | ) ( ) ( ; | )
R R R
I S S V H S V H S V
I S V I S V S I S V
I S V S H S V H S V
H S H S V I S V S
H S H S V I S V S
H S V H S V
H S I S V S H S I S V S
+ +
+ +
= + + +
+ +
= ? + +
? + +
+
= + + +
≥
(10)
令2 1 I (S ;V | S ) = 0和 1 2 I (S ;V | S ) = 0，當(dāng)且僅當(dāng)
S1、S2、V同時(shí)滿足Markov鏈
S2?S1?V和S1?S2?V
并由此會有如下不等式和等式。
2R0+R1+R2≥H(S1)+H(S2)
2 1 1 2
1 2 2 1
, 1 2
1 2 1 2
max ( , ; )
max ( ; ) max ( ; ) ( ; ) (11)
S S V S S V
S S V S S V
I S S V
I S V I S V I S S
? ? ? ?
? ? ? ?
= = =
以上過程均滿足可逆性，即存在一反向結(jié)論：當(dāng)
(R0,R1,R2)∈?G-W且I(S1;S2)=R0時(shí)，有
S2?S1?V，S1?S2?V (12)
進(jìn)一步會得到
2R0+R1+R2=H(S1)+H(S2)
推論3 當(dāng)定理1 中的S1和S2的公共信息等于
兩者之間的互信息，并滿足
1 1 0 1 2 2 0 1
2 2 0 2 1 1 0 2
( ; | ) ( ; , | ) ( | )
( ; | ) ( ; , | ) ( | )
I U Y U I U Y U U H S V
I U Y U I U Y U U H S V
?
?
≥
≥
·22· 通 信 學(xué) 報(bào) 第34 卷
則相關(guān)信源傳輸可達(dá)到部分絕對保密，即
1 1 2 ( | ) S C = H S S ，
2 2 1 ( | ) S C = H S S
證明 公共信息的大小會直接影響疑義度，顯
然由于公共信息可被任意接收用戶所識別，而公共
信息又與信源S1和S2相關(guān)，會引發(fā)信息泄露。所以
從安全性的角度考慮，本文期望公共信息盡量地
小，同時(shí)還要滿足Markov約束條件S1?V?S2。后者
約束條件保證了接收用戶在得到公共信息之后，不
能夠利用已知信源（如S1）信息再獲取不同于公共
信息的有關(guān)另一信源（如S2）的信息。從安全性的
角度來看，推論3 所設(shè)置的約束條件是在定理1 的
基礎(chǔ)上，盡可能地減少了公共信息量，從而獲得更
高水平的安全性。
根據(jù)定理1 和推論2，得到Markov 鏈
S1?V?S2，S2?S1?V，S1?S2?V
再根據(jù)數(shù)據(jù)處理不等式，由S1?V?S2得到
2 2 1 H(S |V )≤H(S | S )， 1 1 2 H(S |V )≤H(S | S )
由S2?S1?V得到
2 2 1 H(S |V )≥H(S | S )
由S1?S2?V得到
1 1 2 H(S |V )≥H(S | S )
故有
2 1 2 H(S | S ) = H(S |V )， 1 2 1 H(S | S ) = H(S |V ) (13)
定理2 在定理1 中，當(dāng)I(S1,S2;V)=I(S1;S2)時(shí)，
則?1退化為?2。
1 2 0 1 0 2
1 1 1 0 0 1 0 2
2 2 2 0 0 1 0 2
2
( ; ) min{ ( ; ), ( ; )} (a)
( ) ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} (b)
( ) ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )}
I S S I U Y I U Y
H S I U Y U I U Y I U Y
H S I U Y U I U Y I U Y
<
< +
< +
=
?
1
2
1 2 1 1 0 2 2 0 1 2 0 0 1 0 2
1 1 0 1 2 2 0 1 2
2 2 0 2 1 1 0 2
(c)
( , ) ( ; | ) ( ; | ) ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} (d)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )} (e)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( |
S
S
H S S I U Y U I U Y U I U U U I U Y I U Y
E I U Y U I U Y U U H S S
E I U Y U I U Y U U H S S
< + ? +
?
?
≤
≤
1 2 2 1 1 2
0 1 2 1 2
, ,
1 )} (f )
S V S S S V S S V
U U U X Y Y
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ?
? ?
? ?
?? ??
? ?
? ?
? ?
? ?
?? ??
?
(14)
證明
根據(jù)推論1~推論3，有如下結(jié)論
1 2 1
1 2 1 1
1 1
1 1 1 1
( , ; ) ( | )
( ; ) ( ; | ) ( | )
( ; ) ( | )
( ) ( | ) ( | ) ( )
I S S V H S V
I S V I S V S H S V
I S V H S V
H S H S V H S V H S
+
= + +
= +
= ? + =
(15)
同理可得
1 2 2 2 I (S , S ;V ) + H(S |V ) = H(S ) (16)
綜合式(9)、式(13)、式(15)、式(16)，得到不等式組
式(14)，定理2 得證。
相比較定理1，定理2 得到允許信源區(qū)域?2的
信源壓縮界（不等式(14a)~不等式(14d)的左半部）
是最優(yōu)的，并且滿足推論3 中相關(guān)信源傳輸可達(dá)到
部分絕對保密的條件。
3.3 退化信源集
定理3 信源S1和S2經(jīng)廣播信道發(fā)送給譯碼器
1，同時(shí)只將S1發(fā)送給譯碼器2，稱該系統(tǒng)為具有退
化信源集[17]的廣播信道，滿足可靠性和安全性傳輸
的充分必要條件為
0 1 1 2
1
2 0 1 0 2
1 2 1 1 0
3 0 1 0 2
1 1 0
1 2 0 1 2
( ) min{ ( ; ), ( ; )}
( , ) ( ; | )
min{ ( ; ), ( ; )}
min{ ( ; | )
( ; | ), ( | )}
U U X Y Y
S
H S I U Y I U Y
H S S I U Y U
I U Y I U Y
E I U Y U
I U Y U H S S
? ? ?
? < ?
? ?
? < + ?
= ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? ??
?
≤
? (17)
證明 見附錄B。
充分必要條件所確定的區(qū)域?3為最優(yōu)允許信
源區(qū)域，此時(shí)分離信源信道編碼為最優(yōu)碼。當(dāng)滿足
I(U1;Y1|U0)?I(U1;Y2|U0)≥H(S1|S2)時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)可
以做到對S1“部分絕對保密”。
當(dāng)不考慮信源編碼僅對信道來說，系統(tǒng)簡化為
具有一個公共消息W0和一個秘密消息W1的廣播信
道，W0和W1的熵分別為nH(S2)和nH(S2|S1)。?3退
化為Csiszár和Körner的容量——疑義度界[2]。
0 1 1 2
0 0 1 0 2
0 1 1 1 0
0 1 0 2
1 1 0 1 2 0
min{ ( ; ), ( ; )} (a)
( ; | )
min{ ( ; ), ( ; )} (b)
( ; | ) ( ; | ) (c)
C K
U U X Y Y
e
R I U Y I U Y
R R I U Y U
I U Y I U Y
R I U Y U I U Y U
?
? ? ?
=
? ?
? + < + ? ? ?
? ?
? ?
?? ? ??
≤
≤
?
?
(18)
第10 期 郎非等：基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸 ·23·
3.4 More capable 廣播信道
定理4 對于廣播信道p(y1,y2|x)，假設(shè)Y1的能
力大于Y2的能力，即對于所有輸入分布p(x)，都有
I(X;Y1)≥I(X;Y2)，則稱該信道為more capable廣播信
道[23]，相關(guān)信源S1和S2在該信道上滿足可靠性和安
全性傳輸?shù)某浞直匾獥l件：
1
1 2 1
1 2 1 2
4 2 2
( , )
1 2
1 2
( , ) ( ; )
( , ) ( ; | ) ( ; )
( ) ( ; )
min{ ( ; | ) ( ; | ),
( | )}
?
p u x
S
H S S I X Y
H S S I X Y U I U Y
H S I U Y
E I X Y U I X Y U
H S S
? < ?
? ?
? < + ?
= ? < ? ? ?
? < ? ? ? ?
?? ??
? (19)
證明
首先給出定理3 的另外一種等價(jià)表達(dá)形式。
0 1 1 2
1
1 2 1 1
1 2 1 1 0 0 2
3 2 0 2
,
1 1 0
1 2 0 1 2
( , ) ( ; ) (a)
( , ) ( ; | ) ( ; ) (b)
' ( ) ( ; ) (c)
min{ ( ; | )
( ; | ), ( | )} (d)
U U X Y Y
S
H S S I U Y
H S S I U Y U I U Y
H S I U Y
E I U Y U
I U Y U H S S
? ? ?
? < ?
? ?
? < + ?
= ? < ? ? ?
? ? ? ? ?
?? ??
≤
? ?
(20)
注釋 ?'3仍是充分必要條件，并且在不考慮安
全的情況下，用(R0,R1)替換不等式組(20a)~不等式
組(20c)的左半部的壓縮界，則?'3退化為具有退化消
息集或more capable廣播信道的一個容量界[23]。這
里由于篇幅限制，不再對?'3進(jìn)行證明。
充分性 將不等組(20)中U替換U0，X替換U1，
即得不等式組(19)。
必要性 只需證明不等組(20)中的信道外界
（不等式右側(cè)）都不大于不等式組(19)右側(cè)的互信
息表達(dá)式，則?4也是一個外界。
當(dāng)滿足?'3中0 1 1 2 U →U → X →(Y ;Y )和定理 4
中1 2 I (X;Y ) > I (X;Y )的條件時(shí)，則有
1 1 1 I (U ;Y )≤I (X;Y ) (21)
1 1 0 1 0 I (U ;Y |U )≤I (X;Y |U )
1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 I (X;Y |U = u ,U = u ) > I (X;Y |U = u ,U = u )
進(jìn)一步會有
1 1 0 0 2 1 0 0 2 I (U ;Y |U ) + I (U ;Y )≤I (X;Y |U ) + I (U ;Y ) (22)
1 1 0 2 1 0 I (X;Y |U ,U ) > I (X;Y |U ,U )
進(jìn)一步考慮疑義度限制條件
1 1 0 1 2 0
1 1 0 1 1 0
1 2 0 2 1 0
1 1 0 1 2 0
1 0 2 0
1 2
( ; | ) ( ; | )
( ; | ) ( ; | , )
( ; | ) ( ; | , )
( ; | ) ( ; | )
( ; | ) ( ; | )
( ; | ) ( ; | )
I U Y U I U Y U
I U X Y U I X Y U U
I U X Y U I X Y U U
I U X Y U I U X Y U
I X Y U I X Y U
I X Y U I X Y U
?
= ? ?
+
< ?
= ?
= ?
(23)
綜合式(21)~式(23)，?4是?'3的一個外界，證畢。
在衡量廣播信道p(y1 ,y2 |x)的Y1 和Y2 的能力
差異時(shí)，more capable是比較弱的約束條件，對
于較強(qiáng)的約束條件less noisy或退化關(guān)系時(shí)，? 4
也成立。
4 結(jié)束語
本文研究相關(guān)信源在廣播信道下可靠安全傳
輸?shù)膯栴}?；诜蛛x信源信道碼，得到了相關(guān)信
源在一般廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)目蛇_(dá)允許
信源區(qū)域的內(nèi)界，并給出了達(dá)到信源信息部分絕
對保密的條件。當(dāng)滿足退化信源集或
I(X;Y1 )>I(X;Y2 )時(shí)，分別得到了可靠和安全傳輸?shù)?
最優(yōu)限制條件，此時(shí)分離信源信道碼為最優(yōu)碼，
香農(nóng)信源信道分離定理依然成立。未來下一步的
任務(wù)可以結(jié)合如下工作：如采用聯(lián)合信源信道編
碼[18]，這會突破傳統(tǒng)的編碼結(jié)構(gòu)，雖然會帶來在
編碼效率上的提升，但也會給安全傳輸帶來挑戰(zhàn)；
Tandon在文獻(xiàn)[3]中討論了在Gray-Wyner系統(tǒng)中
不同種類的公共信息對疑義度的影響；Villard在
文獻(xiàn)[4]中提出了帶邊信息的有損單信源在竊聽
信道中保密傳輸?shù)膯栴}。
附錄A 定理1 證明
對充分性證明。對所用的信源信道編譯策略碼做簡要描
述，分為如下幾個步驟。
1) 信源編碼器： 使用Gray-Wyner 碼將雙信源序列
1 2 (Sn ,Sn ) 映射成信源消息組 0 1 2 (M ,M ,M ) 。通過碼率分別為
R0、R1、R2的三路無噪線路分別將M0、M1、M2發(fā)送到信
道編碼器。
2) 信道編碼器：將M0、M1、M2分別一一映射為信道
消息W0、W1、W2。再基于Xu等人的保密編碼策略[10]對消
息進(jìn)行信道編碼，產(chǎn)生信道傳輸碼字 xn 。
3) 接收端譯碼器1：利用接收序列1
Y n ，采用聯(lián)合典型
譯碼規(guī)則完成對消息0 1 (W ,W )譯碼，并在此基礎(chǔ)上最終完成
對1
Sn譯碼。同時(shí)要給出使得譯碼錯誤概率接近為 0 的限制
·24· 通 信 學(xué) 報(bào) 第34 卷
條件集。最后計(jì)算條件熵2 1 H(Sn | Y n )，即譯碼器 1 在接收到
序列1
Y n 之后對信源 2
Sn的不確定度。譯碼器 2 工作亦如此。
上述編碼策略可看作由2 個環(huán)節(jié)組成：信源編譯碼與信
道編譯碼。其中，信道編碼策略與Xu相似，只是本文刪除
了如下限制條件[10]
1 1 1 0 1 2 2 0
2 2 2 0 2 1 1 0
( ; | ) ( ; , | )
( ; | ) ( ; , | )
R I U Y U I U Y U U
R I U Y U I U Y U U
? ?
?
? ?
≥
≥
(24)
即本文不再要求消息速率R1和R2一定要大于信道的安全容
量，這是因?yàn)樵诒疚闹行诺老⑺俾蔬€要受到信源編碼的影
響。在信道編碼環(huán)節(jié)中，對變量的使用稱謂基本延續(xù)Xu在
文獻(xiàn)[10]中的定義。
0
0 0 W ∈? = {1,?,2nR } 作為信道傳輸?shù)墓蚕ⅲ?
1
1 1 W ∈? = {1,?,2nR }和 2
2 2 W ∈? = {1,?,2nR }作為信道的私密
消息分別發(fā)送給譯碼器1 和譯碼器2。進(jìn)一步將W1劃分為
10
10 10 W ∈? = {1,?,2nR }和 11
11 11 W ∈? = {1,?,2nR }，W2劃分為
20
20 20 W ∈? = {1,?,2nR } 和 22
22 22 W ∈? = {1,?,2nR } ，其中，
R1=R10＋R11，R2=R20＋R22，W10和W20指能夠同時(shí)被譯碼
器1 和譯碼器2 進(jìn)行消息譯碼。這種速率劃分的目的是考慮
到當(dāng)0 0 1 0 2 R < min{I (U ;Y ), I (U ;Y )}，公共消息的傳輸不能充分
地利用公共信道，故將W10和W20也作為公共消息借助于該
信道進(jìn)行傳輸。說明：這里的公共信道或私人信道是一種邏
輯上的表達(dá)，實(shí)際上都是同一物理信道；與Xu不同的是，
本文還將討論?10和?20為空集時(shí)的情況。
1) 隨機(jī)碼生成
① 信源碼字：固定某一輸入分布1 2 p(v | s , s ) 。隨機(jī)生
成2nR0 個碼字 0 vn (m )， 0
0 m ∈{1,?,2nR }，碼字由獨(dú)立同分布
的n個字母V構(gòu)成，V服從分布 p(v)；均勻地將含有 1
Sn序列
集合等分割成 2nR1 個小艙（記為bin），bin的下標(biāo)為m1，
1
1 m ∈{1,?,2nR } ；相似地均勻地將 2
Sn 序列等分割成 2nR2 個
bin，bin的下標(biāo)為m2， 2
2 m ∈{1,?,2nR }。
(R0,R1,R2)∈?G-W（見式(7)）且滿足Markov鏈 S1－V
－S2，易知消息M0、M1、M2互相獨(dú)立。
② 信道碼字：固定某一信道輸入分布0 1 0 p(u ) p(u | u ) ?
2 0 p(u | u ) 1 2 p(x | u ,u ) 。首先做如下定義：
11 1 1 0 1 2 2 0
12 1 2 2 0
21 2 2 0 2 1 1 0
22 2 1 1 0
3 1 2 0
( ; | ) ( ; , | )
( ; | , )
( ; | ) ( ; , | )
( ; | , )
( ; | )
L I U Y U I U Y U U
L I U Y U U
L I U Y U I U Y U U
L I U Y U U
L I U U U
= ? ?
? = ?? = ? ?
? = ?
?? =
(25)
隨機(jī)生成2n(R10 +R20 +R0 ) 個碼字 0 10 20 0 un (w ,w ,w )，碼字由獨(dú)立同
分布的n個字母U0構(gòu)成，U0服從分布0 p(u )。然后針對每一
個0
un 生成 2n(L11 +L12 +L3 ) 個碼字 1 un (i,i′,i′′) ， i∈{1,?,2nL11} ，
i′∈{1,?,2nL12 }，i′′∈{1,?,2nL3}，碼字由獨(dú)立同分布的n個字
母U1構(gòu)成，U1服從分布1 0 p(u | u )；相似地生成2n(L21 +L22 +L3 ) 個
碼字2 un ( j, j′, j′′) ， j∈{1,?,2nL21} ， j′∈{1,?,2nL22 } ，
j′′∈{1,?,2nL3}，碼字由獨(dú)立同分布的n個字母U2生成，U2
服從分布2 0 p(u | u )。對碼字索引(i,i′,i′′) 和( j, j′, j′′) 可通過
“binning”技術(shù)來解釋。例如，可以隨機(jī)地將1
un 放置到2nL11
個bin中，每個bin由i進(jìn)行標(biāo)識，記作bin(i)；進(jìn)一步把bin(i)
劃分成2nL12 個sub-bin， 1
un 被隨機(jī)劃分到其中一個sub-bin中，
記為sub-bin(i')。i''則是1
un sub-bin(i')中的隨機(jī)序號。Liu把這
一編碼技術(shù)稱為“double-binning”[9]，如表1 所示。
2) 編碼
① 信源編碼：給定雙信源序列1 2 1 2 (sn , sn ) T n (S S ) ε ∈ 。編
碼器0 尋找一序列0 vn (m )滿足
( )
0 1 2 1 2 (vn (m ), sn , sn ) T n (VS S ) ε ∈ (26)
編碼器0 再將消息m0發(fā)送給信道編碼器。編碼器1 根
據(jù)要發(fā)送的信源序列1
sn ，選擇其所在bin，將bin的下標(biāo)m1
發(fā)送給信道編碼器。同理編碼器2 將2
sn 所在bin的下標(biāo)m2
發(fā)送給信道編碼器。
② 信道編碼：定義3 個一一映射函數(shù)0 1 2 g , g , g ，其逆
映射為1 1 1
0 1 2 g? , g? , g? 。
0
0 0 0 W = g (M )∈{1,?,2nR }， 1
1 2 1 W = g (M )∈{1,?,2nR }，
2
2 2 2 W = g (M )∈{1,?,2nR }
信道編碼器根據(jù)信源編碼器發(fā)送過來的消息m0、m1、
m2，分別經(jīng)過函數(shù)g0、g1、g2映射，得到信道消息w0、w1、
w2，再經(jīng)過消息劃分得到w0、w11、w10、w22、w20。由此，
可以首先得到0 10 20 0 un (w ,w ,w ) ，然后從 2n(L11 +L12 +L3 ) 個碼字
表1 double-binning
sub-bin(1) … sub-bin(i') … sub-bin( 2nL12 ) bin
1 un (1,1,1) … 3
1 un (1,1,2nL ) … 1 un (1,i ',1) … 3
1 un (1,i ', 2nL ) … 12
1 un (1,2nL ,1) … 12 3
1 un (1, 2nL , 2nL ) bin(1)
1 un (i,1,1) … 3
1 un (i,1,2nL ) … 1 un (i,i ',1) … 3
1 un (i,i ', 2nL ) … 12
1 un (i, 2nL ,1) … 12 3
1 un (i, 2nL , 2nL ) bin(i)
? ? ? ? ? ?
11
1 un (2nL ,1,1) … 11 3
1 un (2nL ,1,2nL ) … 11
1 un (2nL ,i ',1) … 11 3
1 un (2nL ,i ', 2nL ) … 11 12
1 un (2nL ,2nL ,1) … 11 12 3
1 un (2nL , 2nL , 2nL ) bin( 2nL11 )
第10 期 郎非等：基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸 ·25·
1 un (i,i′,i′′)中挑選一個碼字用來傳輸w11。碼字 1 un (i,i′,i′′)的確
定分為3 種情況，其中，后2 種情況采用和Xu[10]一樣的方式。
a) R11< L11。2nL11 個bin被均勻地劃分為2nR11 個cell，每
個w1對應(yīng)一個cell。cell(w1)中有bin的數(shù)量為2n(L11 ?R11 ) ，隨機(jī)
挑選一個bin (i)。再從bin(i)的2n(L12 +L3 )個碼字中隨機(jī)地挑選
一個1 un (i,i′,i′′)。
b) L11≤R11≤L11＋L12。每個bin含有消息w1的個數(shù)為
2n(R11 ?L11 ) ，把 2nL12 個sub-bin放入到 2n(R11 ?L11 ) 個cell中，從
cell(w1)中隨機(jī)挑選一個sub-bin，再從此sub-bin中隨機(jī)挑選
一個1 un (i,i′,i′′)。
c) L11＋L12 I (S ,S ;V ) (31)
根據(jù)式(27)，信道編碼器會以錯誤概率接近于0 的可能
性找到一對消息(i',i'')，只要滿足
1 1 0 11 2 2 0 22 1 2 0 I (U ;Y |U ) ? R + I (U ;Y |U ) ? R ≥I (U ;U |U ) (32)
根據(jù)式(28)，譯碼器1 以錯誤概率接近于0 的可能性找
到唯一一組0 10 20 (w? ,w? ,w? ) ，只要滿足
0 10 20 0 2 R + R + R ≤I (U ;Y ) (33)
根據(jù)信道碼字的定義式(25)可以得到
11 12 3 1 1 0 L + L + L < I (U ;Y |U ) (34)
進(jìn)一步根據(jù)式(29)、式(34)，譯碼器1 以錯誤概率接近
于 0 的可能性找到唯一一組(i,i′,i′′) 。由此
11 1 1 0 R < I (U ;Y |U ) (35)
進(jìn)一步可以有無差錯譯碼 (i,i′,i′′) →w11→(w0,w1)→
(m0,m1)。
由信源編碼可知，典型集勢 ( 1 )
1 | T n (S ) | 2nH S ε = ，用來劃分
1
Sn 的bin個數(shù)為 2nR1 ，故每一個bin中序列 1
sn 的個數(shù)為
2n(H (S1 )?R1 )。由Gray-Wyner系統(tǒng)的可達(dá)域?G-W(見不等式組(7))
可知
1 1 R > H(S |V ) (36)
則有
2n(H (S1 )?R1 ) < 2n(H (S1 )?H (S1 |V )) = 2nI (S1 ;V )
由引理2、式(30)和式(36)可知，譯碼器1 會以錯誤概率
接近于0 的可能性找到唯一1
sn 。
5) 疑義度計(jì)算
(a )
1 2 1 1 0 2 1 1 0 2
(b) (c)
1 1 0 2 1 0 2
(d) (e)
1 0 2 1 2
( | ) ( | ) ( ; | )
0 ( ; | ) ( | )
( | ) ( | )
n n n n n n
n n n
n n
H S Y H S M M Y I S M M Y
I S M M Y H M M Y
H WW Y H W Y
= +
= + =
= =
(37)
對式(37)中步驟(a)～步驟(e)做如下解釋。
步驟(a) 將疑義度拆分為兩項(xiàng)，前項(xiàng)是信源編碼帶來
的疑義度，后項(xiàng)是信道傳輸帶來的疑義度。
步驟(b) 根據(jù)編碼規(guī)則二元消息組(M1,M0)完全可以
確定1
Sn。
步驟(c) 根據(jù) 2
Y n 可譯出 2
Sn，那么通過某一確定性映射
函數(shù)可以將1 2 (Sn ,Sn ) 映射為 0 1 (M ,M )。
步驟(d) 由一一映射 0 0 0 W = g (M )， 1 2 1 W = g (M )。
步驟(e) 公共信息W0可被任意接收者所譯碼，因此對
疑義度不產(chǎn)生影響。
情況1 當(dāng) 1 1 1 0 1 2 2 0 H(S |V ) > I (U ;Y |U ) ? I (U ;Y ,U |U ) ，
即R1>L11。
1 2 11 10 2 0 11 2
(a )
1 1 0 1 2 2 0
( | ) ( , | , ) ( | )
( ( ; | ) ( ; , | ))
H W Y n H W W Y n Un H W Y n
n I U Y U I U Y U U
= =
= ?
(38)
步驟(38a)直接使用了Xu[10]的證明結(jié)果。由疑義度定義式(2)
可得
1 1 1 0 1 2 2 0 ( ; | ) ( ; , | ) S E ≤I U Y U ? I U Y U U (39)
情況2 當(dāng) 1 1 1 0 1 2 2 0 H(S |V )≤I (U ;Y |U ) ? I (U ;Y ,U |U )，
·26· 通 信 學(xué) 報(bào) 第34 卷
即R1≤L11。此時(shí)消息w1在廣播信道中傳輸可以保證絕對安
全。也就是說，譯碼器2 通過無線信道無法知道關(guān)于w1的
任何信息，但是這不等于1
Sn絕對安全，因?yàn)樽g碼器 2 可以
通過對序列2
yn的譯碼得到公共消息M0，M0含有1
Sn的信息。
另一方面，由Markov鏈S1?V?S2可以推出M1和M0是獨(dú)立
的，由此M1是絕對安全，因此有
1 2 1 1 H(W | Y n ) = H(W ) = nH(S |V )
1 1 ( | ) S E ≤H S V (40)
同理，在譯碼器2 上的錯誤率分析和疑義度計(jì)算中，作
者可以得到與譯碼器1 對稱的結(jié)果。
22 2 2 0 R < I (U ;Y |U ) (41)
2 2 2 0 2 1 1 0 2 min[ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )] S E ≤ I U Y U ? I U Y U U H S V (42)
綜合式(31)~式(36)和式(38)~式(42)，得到?1。
附錄B 定理3 證明
充分性證明：要求在定理1 的不等式組中V=S2，去掉
U2即得定理3。
必要性證明：首先考慮有一個(2nH (S2 ) ,2nH (S1 |S2 ) ,n) 碼可使得
n 長分組序列的譯碼錯誤率為 (n)
e P 。在1 2 1 2
?n × ?n ×?n ×?n ×?n
上的概率分布為
1 2 1 2 1 2
1
( , ) ( | , ) ( , | )
n
n n n n n
i i i
i
p s s p x s s p y y x
= Π
(43)
根據(jù)費(fèi)諾不等式(引理 3)，再由(2nH (S2 ) ,2nH (S1 |S2 ) ,n) 碼映
射為消息的數(shù)目為M0個數(shù)為2nH (S2 )，M1個數(shù)為2nH (S1 |S2 )，則
有如下不等式
( )
2 1 0 1 2 ( n | n ) ( | n ) 1 n ( )
e n H S Y = H M Y ≤ + P nH S = nε (44)
( )
2 2 0 2 2 ( n | n ) ( | n ) 1 n ( )
e n H S Y = H M Y ≤ + P nH S = nε (45)
( )
1 1 2 1 1 0 1 2 ( n | n , n ) ( | n , ) 1 n ( | )
e n H S Y S = H M Y M ≤ + P nH S S = nε (46)
定義輔助變量1
0 1 2, 1 2 ( i , n , n )
i i U Y ? Y S
+ = ， 1 1
n
i U = S ，且滿足
Markov 鏈
0 1 1 2 ( , ) i i i i i U →U → X → Y Y
1) 允許信源區(qū)域外界計(jì)算
1 2
(a )
1 2
1 2 2
1 1 2 1 1 2
2 1 2 1 2 2 2 2
(b)
1 1 2 2 1 2 2
1
1 1 1 2
1
( , )
( , )
( | ) ( )
( ; | ) ( | , )
min{ ( ; ) ( | ), ( ; ) ( | )}
( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} 2
( ; | , )
n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n
n
n
n i n
i
i
nH S S
H S S
H S S H S
I S Y S H S Y S
I S Y H S Y I S Y H S Y
I S Y S I S Y I S Y n
I S Y Y S
ε
?
=
=
= +
= + +
+ +
+ +
=Σ +
≤
1
2 1 1 2 2 2, 1
1 1
min{ ( ; | ), ( ; | )} 2
n n
n i n n
i i i n
i i
I S Y Y ? I S Y Y nε
+
= =
Σ Σ +
1
1 1 1 2
1
1
2 1 1 2 2, 1 2
1 1
1
1 1 1 2, 1 2
1
1 1
2 1 2, 1 1 2 1 2, 1 2
1 1
1 1 0
( ; | , )
min{ ( , ; ), ( , ; )} 2
( ; | , , )
min{ ( , , ; ), ( , , ; )} 2
( ; |
n
n i n
i
i
n n
n i n n
i i i n
i i
n
n i n n
i i
i
n n
n i n n i n
i i i i n
i i
i i i
I S Y Y S
I S Y Y I S Y Y n
I S Y Y Y S
I S Y Y Y I S Y Y Y n
I U Y U
ε
ε
?
=
?
+
= =
?
+
=
? ?
+ +
= =
+
+
+
+
=
Σ
Σ Σ
Σ
Σ Σ
≤
≤
0 1 0 2
1 1 1
) min{ ( ; ), ( ; )} 2
n n n
i i i i n
i i i
I U Y I U Y nε
= = =
Σ + Σ Σ +
1 1 0 0 1 0 2 ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} 2 n = nI U Y U + nI U Y nI U Y + nε (47)
步驟(47a)： 1 1,1 1,2 1, n ( , , , )
n S = S S ? S ，當(dāng)序列中每一個元
素之間都相互獨(dú)立時(shí)等號成立；
步驟(47b)：應(yīng)用費(fèi)諾不等式性質(zhì)(見式(44)~式(46))。
2) 疑義度外界計(jì)算
1 1 2
1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2
1
1 1 2 1 1 2 2 2, 1
1
1
( | )
( | ) ( ; | )
( | ) ( ; | ) ( | )
( ; | ) ( ; | ) ( | ) ( | )
( ; | ) ( ; | ) 2
( ,
n n
S
n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
n
n n i n n n
i i i n
i
n
nE H S Y
H S S Y I S S Y
H S S I S Y S H S Y
I S Y S I S Y S H S Y S H S Y
I S Y S Y I S Y S Y n
I S Y
? ε
+
=
= +
+ +
+ + +
= ?? ? ?? +
=
Σ
≤
≤
≤
1 1
2, 1 1 2 1 1 1 2 2 2, 1
1
1 1
1 1 2 1 2, 1 1 2 2 2, 1 1
1
; | ) ( , ; | ) 2
( ; | ) ( ; | ) 2
n
n n i n i n n
i i i i n
i
n
n n i n n n n i
i i i i n
i
Y S Y I S Y Y S Y n
I S Y S Y Y I S Y S Y Y n
ε
ε
? ?
+ +
=
? ?
+ +
=
?? ? ?? +
= ?? ? ?? +
Σ
Σ
1 1 0 1 2 0
1
( ; | ) ( ; | ) 2
n
i i i i i i n
i
I U Y U I U Y U nε
=
=Σ?? ? ?? + (48)
同時(shí)
1 1 2
1 2 2 1 2 2
1 2 2 2 2
1 2
1 2
1
( | )
( | , ) ( ; | )
( | , ) ( | )
( | )
( | )
n n
S
n n n n n n
n n n n n
n n
n
n
i i n
i
nE H S Y
H S Y S I S S Y
H S Y S H S Y
H S S n
H S S n
ε
ε
=
= +
+
+
=Σ +
≤
≤
≤
(49)
綜合式(47)、式(48)和式(49)，即得?3。定理3 證畢。
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作者簡介：
王保云（1967-），男，河南信陽人，南京郵電大學(xué)教
授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橄戕r(nóng)信息論、無線通信中
的博弈與協(xié)作、無線通信中的信號處理技術(shù)、視頻信息的分
析與理解等。
鄧志祥（1980-），男，江蘇南通人，南京郵電大學(xué)博
士生，主要研究方向?yàn)闊o線通信網(wǎng)絡(luò)與香農(nóng)信息理論。
郎非（1977-），男，吉林長春人，南
京郵電大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)闊o線
通信網(wǎng)絡(luò)與香農(nóng)信息理論。</ε></ε>

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